Rangala relato

Relaciono di rango en ensemblo E es binara relaciono en ta ensemblo ke permesas di komparar sua elementi inter li di koheranta maniero. Ensemblo provizita di relaciono di rango es ranga ensemblo o simple rango.

Prizenteso

Principala proprieti di relaciono di rango

• Reflektita : binara relaciono ${\mathcal {R}}$ es :

• reflekiva, kad ol pozas omni elementi en relaciono nam li mem, to es kad :

$\forall x\in E,\ x{\mathcal {R}}x\,$

• nereflektiva, kad ula elemento es en relaciono nam li mem, to esas kad :

$\forall x\in E,\ x\not \!\,{\mathcal {R}}x\,$

• senreflektiva en la altra kazi.

• Simetreso : binara relaciono ${\mathcal {R}}$ es imajo di sua imaji, to es kad :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\ (x{\mathcal {R}}y)\Rightarrow (y{\mathcal {R}}x)\,$

• (febla) antisimetreso, kad la distingata elementi ne es ul-tempe en reciproka relaciono, to es kad :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}x)]\Rightarrow [x=y]\,$

• dis-simetreso n la altra kazi.

• • relaciono ${\mathcal {R}}$ esos forte antisimetreso (o sensimetreso) kad ula duo di elementi, distingata o ne, es ul-tempe en reciproka, to es kad :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\ (x{\mathcal {R}}y)\Rightarrow (y\not \!\,{\mathcal {R}}x)\,$

on povas montrar ke ol es equivalanta per binara relaciono di esar forte antisimetreso o di esar febla antisimetreso e senreflektiva.

• Transitivita : binara relaciono ${\mathcal {R}}$ es :

• transitiva, kad omni elemento es imajo di omna antecedento di sua antecedenti, to es kande kad elemento es imajo di altra elemento, lore omni sua imaji es imaji di ta altra elemento, o ankore kad :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [x{\mathcal {R}}z]\,$

• antitransitiva, kad omna elemento es imajo di ul-tempe antecedento di sua antecedenti, to esas kad :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [x\not \!\,{\mathcal {R}}z]\,$

• cirkulero, kad omna elemento es antecedento di sua antecedenti, to es kad :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [z{\mathcal {R}}x]\,$

• anticirkulero, kad omna elemento es antecedento ul-tempe antecedento di sua antecedenti, to es kad :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow [z\not \!\,{\mathcal {R}}x]\,$

Mi-rango

Per permezar la komparo di elementi, binara relacion devas ante omne esar antisimetreso ; por kam ta komparo es koheranta per l'ensemblo di elementi, ol facas ke la relaciono sive anke transitiva.