Simetra elemento

En matematiko simetra elemento esas en simpla termi funciono qua « facas exakte l'inverso di to ke facas donita apliko ». La reciproka apliko permisas di truvar de lia imajo per donita apliko; altre dicas reciproka apliko disfacas to ke l'originala apliko facis.

Per exemplo, se ni konsideras la funciono x → 3x + 2, lore lia reciproka apliko esas x → (x - 2) / 3. To qua skribas su ofte :

f : x → 3x + 2

f ^-1 : x → (x - 2) / 3

L'exponento « -1 » ne esas potenco e f^-1 ne konkordas kun inversa di funciono per multipliko, ma inverso per funcioni-kompozo.

In fakto, per ke funciono f admisas reciproka apliko, ul devas esas bijektiva.

• omna elemento dil ensemblo di ariveyo devas esar atingita da f :

se ne havas moyeno por definar l'imajo da f^-1 di certa elementi.

• omna elemento dil ensemblo di ariveyo devas esar atingita sola foye per f : se ne la reciproka apliko sendos ta elemento ad pluse ke sola valuo.

Formale, la reciproka apliko di bijektiva f di ensemblo X sur ensemblo Y, esas apliko notita f^-1 qua ye elemento y dil ensemblo di ariveyo Y, asocias l'uniqua antecedento x a y per f.

per tota x di X, f^-1(f(x)) = x, nam f(x) havas per uniqua antecedento x

per tota y en Y, f(f^-1(y)) = y, nam f sendas l'uniqua antecedento di y sur y.

To ke ni povas skribar : $f^{-1}\circ f=Id_{X}$ e $f\circ f^{-1}=Id_{Y}$.

To esas posebla di definar la reciproka apliko di funciono ne obligata bijektiva, en konsiderar l'apliko g di mem defin-ensemblo ke f do l'ensemblo di ariveyo esas restriktar ye imajo di f e qua sendas elemento sur l'imajo di ta elemento per f; la reciproka apliko esas lore la multiforma apliko qua kun elemento di imajo di f asocias lia antei per f.

Sive I e J du parti di $\mathbb {R}$ e $f:I\rightarrow J$ bijektiva funciono. Se ni prizentas grafike la funciono f en karteziana reperilo, lore la grafo di f ^-1 esas l'ortangula simetriko di ta di f per raporto kun la rekta d'equaciono y = x.

Algebre, ni determinas la reciproka apliko di f da rezolvinta l'equaciono

y = f(x) di ne konoco x, e kambiinta y e x per obtenar

y = f ^-1(x).

To ne esas sempre facila o posibla.