Derivajo

En matematiko, la derivajo di funciono en punto es la signata mezuro dil rapideso a qua ta funciono chanjas kande sua variano chanjas. Per funciono kun multi variani, on dicas dil partala derivajo per raporto a l’un di sua variani.

Sur la grafo dil funciono, to korespondas a sua inklineso en ta punto.

En l'exemplo apuda: en 0, la kurvo decensas, do la derivajo y es neganta (ol valoras -1) en 1, la kurvo decensas sempre, ma la inklineso es li plu mikra (-0,5). en 2, la kurvo es perfekta horizontalo, do la derivajo es nula (0). en 3, la kurvo acensas, do la derivajo es li pozitiva (0,5).

Formala defino

Sive $f$$f$ reala funciono kun reala valori.

On apelas procento di augmento di $f$$f$ en $x_{0}$$x_{0}$ la quanto :

$t_{x_{0}}(h)={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}$$t_{x_{0}}(h)={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}$

Kad $t_{x_{0}}(h)$$t_{x_{0}}(h)$ havas limito kande $h$$h$ tendencas vers 0, on dicas ke $f$$f$ es derivadeblo en $x_{0}$$x_{0}$, e sua derivajo es egala ala limito di ta procento ce di augmento. On notas lore :

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}t_{x_{0}}(h)=\lim _{h\to 0}{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}$$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}t_{x_{0}}(h)=\lim _{h\to 0}{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}$

Funciono per qua la derivajo existas en punto es dicinta derivadeblo en ta punto.

Ta kalculo di limito rivenas grafike a riserchar la tangento ala kurvo en ta punto. Tale, la derivajo di funciono en punto, se ol existas, es egala ala inklineso di la tangento a grafo di la funciono en ta punto.

La derivajo povas anke esar definita sur da funcioni altra ke reala a reala valori.

Per exemplo, reala funciono $f$$f$ kun valori en $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$, es derivadeblo en $x_{0}$$x_{0}$ se e sole se omna sua koordinati es derivadeblo en $x_{0}$$x_{0}$ ; e sua derivajo es la funciono do la koordinati es la derivadi di koordinati di $f$$f$.

Funciono derivajo

La derivadala es ante locala nociono (derivadala en punto), ma se funciono es derivadeblo sur omna intervalo, on povas definar sua derivadala funciono sur l'intervalo en questiono. La derivadala funciono, notita $f'\,$$f'\,$ (prononcée « f prime ») o ${\frac {df}{dx}}$${\frac {df}{dx}}$, prenas en omni punto la valoro dil derivajo di $f\,$$f\,$ en ta punto.

Funciono egala a sua derivajo es nomita exponentala.

$f'(x)\,$$f'(x)\,$ povas facile kalkular su de expresiono di $f(x)\,$$f(x)\,$ en uzita mikra numbro di algebra normi deduktita dil defino donita ante. La normi pluse ordinare uzita es la segun :

Nomo	Normi	Kondicioni
Lineara	$(af+bg)^{\prime }=af'+bg'$$(af+bg)^{\prime }=af'+bg'$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$$f\,$ e $g\,$$g\,$ e la reali a e b.
Potenco	$(f^{\alpha })^{\prime }=\alpha f^{\alpha -1}f'$$(f^{\alpha })^{\prime }=\alpha f^{\alpha -1}f'$	Kelka sive $\alpha \in \mathbb {Z}$$\alpha \in \mathbb {Z}$, e mem kelka sive $\alpha \in \mathbb {R}$$\alpha \in \mathbb {R}$ se f es pozitiva
Produto	$(fg)^{\prime }=f'g+fg'$$(fg)^{\prime }=f'g+fg'$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$$f\,$ et $g\,$$g\,$
Quociento	$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}$$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$$f\,$ e la derivadeblo funcioni $g\,$$g\,$ ne nihila
Radiko	$\left({\sqrt {f}}\right)'={f' \over 2{\sqrt {f}}}$$\left({\sqrt {f}}\right)'={f' \over 2{\sqrt {f}}}$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$$f\,$ strikte pozitiva
kompozita	$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$$f\,$ e $g\,$$g\,$

derivajo di ordinara funcioni

derivajo di funcioni potenco, log, exp

Funcioni	Derivadi	Kondicioni
$a\,\!$$a\,\!$	$0\,\!$$0\,\!$
$ax\,\!$$ax\,\!$	$a\,\!$$a\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$$x\,\in \mathbb {R}$
$ax^{n}\,\!$$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {Z} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}$$n\,\in \mathbb {Z} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$e^{f}\,\!$$e^{f}\,\!$	$f'e^{f}\,\!$$f'e^{f}\,\!$	$f\,\!$$f\,\!$ derivadeblo
$a^{x}\,\!$$a^{x}\,\!$	$a^{x}\ln a\,\!$$a^{x}\ln a\,\!$	$a\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$$a\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$\ln |x|\,\!$$\ln |x|\,\!$	$1 \over x\,\!$$1 \over x\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$

Derivadi des trigonometrika funcioni

• Se $f(x)=\sin(x)\,$$f(x)=\sin(x)\,$ alors $f'(x)=\cos(x)\,$$f'(x)=\cos(x)\,$

Demonstro :

$f'(x)=\lim _{x\to a}{\sin(x)-\sin(a) \over x-a}$$f'(x)=\lim _{x\to a}{\sin(x)-\sin(a) \over x-a}$

$x=a+b\,$$x=a+b\,$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\sin(a+b)-\sin(a) \over (a+b)-a}$$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\sin(a+b)-\sin(a) \over (a+b)-a}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\sin(a)\cdot \cos(b)+\sin(b)\cdot \cos(a)-\sin(a) \over b}$$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\sin(a)\cdot \cos(b)+\sin(b)\cdot \cos(a)-\sin(a) \over b}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}\sin(a){\cos(b)-1 \over b}+\cos(a)\cdot {\sin(b) \over b}$$f'(x)=\lim _{b\to 0}\sin(a){\cos(b)-1 \over b}+\cos(a)\cdot {\sin(b) \over b}$

$\lim _{b\to 0}{\cos(b)-1 \over b}=0$$\lim _{b\to 0}{\cos(b)-1 \over b}=0$

$\lim _{b\to 0}{\sin(b) \over b}=1$$\lim _{b\to 0}{\sin(b) \over b}=1$

$f'(x)=\cos(a)\,$$f'(x)=\cos(a)\,$

• Se $f(x)=\cos(x)\,$$f(x)=\cos(x)\,$ alors $f'(x)=-\sin(x)\,$$f'(x)=-\sin(x)\,$

Demonstro :

$f(x)=-\sin(a)\,$$f(x)=-\sin(a)\,$

$f'(x)=\lim _{x\to a}{\cos(x)-\cos(a) \over x-a}$$f'(x)=\lim _{x\to a}{\cos(x)-\cos(a) \over x-a}$

$x=a+b\,$$x=a+b\,$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\cos(a+b)-\cos(a) \over (a+b)-a}$$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\cos(a+b)-\cos(a) \over (a+b)-a}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\cos(a)\cdot \cos(b)-\sin(a)\cdot \sin(b)-\cos(a) \over b}$$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\cos(a)\cdot \cos(b)-\sin(a)\cdot \sin(b)-\cos(a) \over b}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}\cos(a){\cos(b)-1 \over b}-\sin(a)\cdot {\sin(b) \over b}$$f'(x)=\lim _{b\to 0}\cos(a){\cos(b)-1 \over b}-\sin(a)\cdot {\sin(b) \over b}$

$\lim _{b\to 0}{\cos(b)-1 \over b}=0$$\lim _{b\to 0}{\cos(b)-1 \over b}=0$

$\lim _{b\to 0}{\sin(b) \over b}=1$$\lim _{b\to 0}{\sin(b) \over b}=1$

$f'(x)=-\sin(a)\,$$f'(x)=-\sin(a)\,$

• Se $f(x)=\tan(x)\,$$f(x)=\tan(x)\,$ alors $f'(x)=\sec ^{2}(x)\,$$f'(x)=\sec ^{2}(x)\,$

Demonstro :

• Se $f(x)=\operatorname {cotan} (x)\,$$f(x)=\operatorname {cotan} (x)\,$ alors $f'(x)=-\operatorname {cosec} ^{2}(x)\,$$f'(x)=-\operatorname {cosec} ^{2}(x)\,$

Demonstro :

• Se $f(x)=\sec(x)\,$$f(x)=\sec(x)\,$ alors $f'(x)=\sec(x)\cdot \tan(x)\,$$f'(x)=\sec(x)\cdot \tan(x)\,$

Demonstro :

• Se $f(x)=\operatorname {cosec} (x)\,$$f(x)=\operatorname {cosec} (x)\,$ lore $f'(x)=-\operatorname {cosec} (x)\cdot \operatorname {cotan} (x)\,$$f'(x)=-\operatorname {cosec} (x)\cdot \operatorname {cotan} (x)\,$

Derivadi dil inverso di trigonometrika funciono

• Se $f(x)=\arcsin(x)\,$$f(x)=\arcsin(x)\,$, lore $f'(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$$f'(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arcsin(\varphi (x))\,$$f(x)=\arcsin(\varphi (x))\,$, lore $f'(x)={\phi '(x) \over {\sqrt {1-\phi (x)^{2}}}}$$f'(x)={\phi '(x) \over {\sqrt {1-\phi (x)^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arccos(x)\,$$f(x)=\arccos(x)\,$, lore $f'(x)={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$$f'(x)={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arccos(\varphi (x))\,$$f(x)=\arccos(\varphi (x))\,$, lore $f'(x)={-\phi '(x) \over {\sqrt {1-\phi (x)^{2}}}}$$f'(x)={-\phi '(x) \over {\sqrt {1-\phi (x)^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arctan(x)\,$$f(x)=\arctan(x)\,$, lore $f'(x)={1 \over {1+x^{2}}}$$f'(x)={1 \over {1+x^{2}}}$
• Se $f(x)=\arctan(\varphi (x))\,$$f(x)=\arctan(\varphi (x))\,$, lore $f'(x)={\phi '(x) \over {1+\phi (x)^{2}}}$$f'(x)={\phi '(x) \over {1+\phi (x)^{2}}}$

derivajo di ordino n

On definas la derivajo di ordino $n$$n$ per funciono $n$$n$ foye derivadeblo per rekurenta :

${\frac {d^{n+1}f}{dx^{n+1}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$${\frac {d^{n+1}f}{dx^{n+1}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$

${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$ es egale notita $f^{(n)}$$f^{(n)}$.

Formulo di Leibniz

Se $f,g$$f,g$ es di funcioni $n$$n$ foye derivadeblo, lore :

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$.

En partikulara per $n=2$$n=2$,

$(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!$$(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!$.

Notez

notera l'analogeso kun la formula di binomio di Newton.

Analiso di funciono derivajo

En truvinta la valori di x ube derivajo valas 0 o ne existas, on truvas la krizala numbri dil funciono. La krizala numbro di f permetas di truvar implicite sua maximi e sua minimi. A efektigar la testo dil prima derivajo, on konstruktas tabelo di variano ; se la signo dil funciono derivajo pasas di plu a min ante krizala numbro, on havas maximo e se la signo dil funciono derivajo pasas di min a plu ante la krizala numbro, on havas minimo.
De plu, kante la signo dil prima derivajo es pozitiva, la funciono acensas ; se ol es negativa, ol decensas. On ne konkluzas nulo se a krizala punto la funciono ne chanjas di signo. En derivadinta la prima derivajo, on havas la duesma derivajo. A efektigar la testo dil duesma derivajo, on truvas la krizala numbri dil prima derivajo per lokizar en mem tabelo ; kante on observas chanjeso di signo dil duesma derivajo ante to krizala nombro o nombri, on dicas ke on havas un (o di) punto di inflexo. La punto di inflexo markizas chanjeso dil konkaveso dil funciono derivajo. Pozitiva signo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la alta e negativa signo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la basa. Konocinta la chanjesi di konkaveso e la extremi dil funcion, on povas lore truvas skiso di grafiko.

derivajo ed optimiseso

Metodo per optimisar rendimento per helpo di diferenciala kalkulo:

1° Matematikeso

a) Defini e desegno : on definas la ne-konocata variani ed on reprezentas li sur skemo.

b) Skribas la objektala funciono a du variani e precizigar se on riserchas maximo o minimo en la donita situo.

c) Truvar la relaciono inter la du variani.

d) Skribas la objektala funciono a un variano e precizigar la domeno dil funciono.

2° Analiso.

a) Derivadar la funciono per obtenar la prima derivajo.

b) Truvar la krizala numbri dil funciono, ube la prima derivajo valas zero o ne existas en la intervali di domeno.

c) Efektigar la testo dil prima derivajo o la testo dil duesma derivajo per determinar la maximo o la minimo dil situo.

3° On formulas la respondo di konciza fasono per raporto ala questiono.

Derivadi ed asimptoti

• Videz Asimptoto

Foye ke on havas determinita la asimpoti dil funciono, on povas notar li en la tabelo di varieso per trasar adequate la skiso dil grafiko.

Derivadi di exponentala e logaritma funcioni

Videz anke

• Exempli di kalkulo di derivajo
• Finita augmenti-teorio
• Darboux-teorio