Derivajo

En matematiko, la derivajo di funciono en punto es la signata mezuro dil rapideso a qua ta funciono chanjas kande sua varianto chanjas. Por funcioni kun multi varianti, on dicas dil partala derivajo per raporto a l’un di sua varianti.

Sur la grafo dil funciono, to korespondas a sua inklineso en ta punto.

En l'exemplo apuda: en 0, la kurvo decensas, do la derivajo y es neganta (ol valoras -1) en 1, la kurvo decensas sempre, ma la inklineso es li plu mikra (-0,5). en 2, la kurvo es perfekta horizontalo, do la derivajo es nula (0). en 3, la kurvo acensas, do la derivajo es li pozitiva (0,5).

Formala defino

Sive $f$ reala funciono kun reala valori.

On apelas procento di augmento di $f$ en $x_{0}$ la quanto :

$t_{x_{0}}(h)={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}$

Kad $t_{x_{0}}(h)$ havas limito kande $h$ tendencas vers 0, on dicas ke $f$ es derivadeblo en $x_{0}$, e sua derivajo es egala ala limito di ta procento ce di augmento. On notas lore :

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}t_{x_{0}}(h)=\lim _{h\to 0}{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}$

Funciono per qua la derivajo existas en punto es dicinta derivadeblo en ta punto.

Ta kalkulo di limito rivenas grafike a riserchar la tangento di la kurvo en ta punto. Do, la derivajo di funciono en punto, se ol existas, es egala ala inklineso di la tangento a grafo di la funciono en ta punto.

La derivajo povas anke esar definita sur da funcioni altra ke reala a reala valori.

Exemple, reala funciono $f$ kun valori en $\mathbb {R} ^{n}$, es derivadeblo en $x_{0}$ se e sole se omna sua koordinati es derivadeblo en $x_{0}$ ; e sua derivajo es la funciono do la koordinati es la derivadi di koordinati di $f$.

Funciono derivajo

La derivadala es ante locala nociono (derivadala en punto), ma se funciono es derivadeblo sur omna intervalo, on povas definar sua derivadala funciono sur l'intervalo en questiono. La derivadala funciono, notita $f'\,$ (prononcée « f prime ») o ${\frac {df}{dx}}$, prenas en omni punto la valoro dil derivajo di $f\,$ en ta punto.

Funciono egala a sua derivajo es nomizita exponentala.

$f'(x)\,$ povas facile kalkular su de expresiono $f(x)\,$ uzanta mikra nombro di algebrala normi deduktita dil defino donita ante. La normi plu ordinare uzata esas:

Nomo	Normi	Kondicioni
Lineara	$(af+bg)^{\prime }=af'+bg'$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$ e $g\,$ e la reali a e b.
Potenco	$(f^{\alpha })^{\prime }=\alpha f^{\alpha -1}f'$	Kelka sive $\alpha \in \mathbb {Z}$, e mem kelka sive $\alpha \in \mathbb {R}$ se f es pozitiva
Produto	$(fg)^{\prime }=f'g+fg'$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$ et $g\,$
Quociento	$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$ e la derivadeblo funcioni $g\,$ ne nihila
Radiko	$\left({\sqrt {f}}\right)'={f' \over 2{\sqrt {f}}}$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$ strikte pozitiva
kompozita	$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$	Kelka sive la derivadeblo funcioni $f\,$ e $g\,$

derivajo di ordinara funcioni

derivajo di funcioni potenco, log, exp

Funcioni	Derivadi	Kondicioni
$a\,\!$	$0\,\!$
$ax\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {Z} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$e^{f}\,\!$	$f'e^{f}\,\!$	$f\,\!$ derivadeblo
$a^{x}\,\!$	$a^{x}\ln a\,\!$	$a\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$\ln |x|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$

Derivadi des trigonometrika funcioni

• Se $f(x)=\sin(x)\,$ alors $f'(x)=\cos(x)\,$

Demonstro :

$f'(x)=\lim _{x\to a}{\sin(x)-\sin(a) \over x-a}$

$x=a+b\,$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\sin(a+b)-\sin(a) \over (a+b)-a}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\sin(a)\cdot \cos(b)+\sin(b)\cdot \cos(a)-\sin(a) \over b}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}\sin(a){\cos(b)-1 \over b}+\cos(a)\cdot {\sin(b) \over b}$

$\lim _{b\to 0}{\cos(b)-1 \over b}=0$

$\lim _{b\to 0}{\sin(b) \over b}=1$

$f'(x)=\cos(a)\,$

• Se $f(x)=\cos(x)\,$ alors $f'(x)=-\sin(x)\,$

Demonstro :

$f(x)=-\sin(a)\,$

$f'(x)=\lim _{x\to a}{\cos(x)-\cos(a) \over x-a}$

$x=a+b\,$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\cos(a+b)-\cos(a) \over (a+b)-a}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}{\cos(a)\cdot \cos(b)-\sin(a)\cdot \sin(b)-\cos(a) \over b}$

$f'(x)=\lim _{b\to 0}\cos(a){\cos(b)-1 \over b}-\sin(a)\cdot {\sin(b) \over b}$

$\lim _{b\to 0}{\cos(b)-1 \over b}=0$

$\lim _{b\to 0}{\sin(b) \over b}=1$

$f'(x)=-\sin(a)\,$

• Se $f(x)=\tan(x)\,$ alors $f'(x)=\sec ^{2}(x)\,$

Demonstro :

• Se $f(x)=\operatorname {cotan} (x)\,$ alors $f'(x)=-\operatorname {cosec} ^{2}(x)\,$

Demonstro :

• Se $f(x)=\sec(x)\,$ alors $f'(x)=\sec(x)\cdot \tan(x)\,$

Demonstro :

• Se $f(x)=\operatorname {cosec} (x)\,$ lore $f'(x)=-\operatorname {cosec} (x)\cdot \operatorname {cotan} (x)\,$

Derivadi dil inverso di trigonometrika funciono

• Se $f(x)=\arcsin(x)\,$, lore $f'(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arcsin(\varphi (x))\,$, lore $f'(x)={\phi '(x) \over {\sqrt {1-\phi (x)^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arccos(x)\,$, lore $f'(x)={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arccos(\varphi (x))\,$, lore $f'(x)={-\phi '(x) \over {\sqrt {1-\phi (x)^{2}}}}$
• Se $f(x)=\arctan(x)\,$, lore $f'(x)={1 \over {1+x^{2}}}$
• Se $f(x)=\arctan(\varphi (x))\,$, lore $f'(x)={\phi '(x) \over {1+\phi (x)^{2}}}$

derivajo di ordino n

On definas la derivajo di ordino $n$ per funciono $n$ foye derivadeblo per rekurenta :

${\frac {d^{n+1}f}{dx^{n+1}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$

${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$ es egale notita $f^{(n)}$.

Formulo di Leibniz

Se $f,g$ esas de la funcioni $n$ foye derivadeblo, lore :

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$.

En partikulara per $n=2$,

$(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!$.

Notez la notinda analogeso kun la formulo pri la binomio di Newton.

Analiso di funciono derivajo

Trovinta la valori di x ube derivajo valas 0 o ne existas, trovesas la krizala nombri dil funciono. La krizala nombro di f permisas trovar implicite sua maximi e sua minimi. A efektigar la testo dil prima derivajo, on konstruktas tabelo di varianto ; se la signalilo dil funciono derivajo pasas di plu a min ante krizala nombro, on havas maximo e se la signalilo dil funciono derivajo pasas di min a plu ante la krizala nombro, on havas minimo. Pluse, kande la signalilo dil prima derivajo es pozitiva, la funciono acensas ; se ol es negativa, ol decensas. On ne konkluzas nulo se a krizala punto la funciono ne chanjas lua signalilo. En derivadinta la prima derivajo, on havas la duesma derivajo. A efektigar la testo dil duesma derivajo, trovesas la krizala nombri dil prima derivajo per lokizar en mem tabelo ; kande on observas chanjeso di signalilo dil duesma derivajo ante to krizala nombro o nombri, on dicas ke on havas un (o di) punto di inflexo. La punto di inflexo markizas chanjeso dil konkaveso dil funciono derivajo. Pozitiva signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la alta e negativa signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la basa.

Konocita la chanjesi di konkaveso e la extremi dil funcion, do on povas trovar skiso di grafiko.

derivajo ed optimiseso

Metodo por maxim bone uzar rendimento per helpo di diferenciala kalkulo:

1ma - Matematikeso

a) Defini e desegno : on definas la ne-konocata varianti ed on reprezentas li sur skemo.

b) Skribas la objektala funciono a du varianti e precizigar se on riserchas maximo o minimo en la donita situo.

c) trovar la relato inter la du varianti.

d) Skribas la objektala funciono a un varianto e precizigar la domeno dil funciono.

2ma - Analiso.

a) Derivadar la funciono per obtenar la prima derivajo.

b) trovar la krizala nombri dil funciono, ube la prima derivajo valas zero o ne existas en la intervali di domeno.

c) Efektigar la testo dil prima derivajo o la testo dil duesma derivajo per determinar la maximo o la minimo dil situo.

3ma - On formulas la respondo di konciza fasono per raporto a la questiono.

Derivadi ed asimptoti

• Videz Asimptoto

Tanta foye kam on determinas la asimpoti dil funciono, on povas notar li en la tabelo di varieso per trasar adequate la skiso dil grafiko.

Derivadi di exponentala e logaritma funcioni

Videz anke

• Exempli pri kalkulo di derivajo
• teorio pri finita augmenti
• teorio di Darboux