Derivajo

De Wikipedio
Irez ad: pilotado, serchez
Commons-emblem-trademark-issue.svg
Ica artiklo bezonas revizo gramatikala. – Ka vu povas helpar ni revizar ica artiklo?

En matematiko, la derivajo di funciono en punto es la signata mezuro dil rapideso a qua ta funciono chanjas kande sua varianto chanjas. Per funciono kun multi varianti, on dicas dil partala derivajo per raporto a l’un di sua varianti.

Sur la grafo dil funciono, to korespondas a sua inklineso en ta punto.

Courbe simple.png

En l'exemplo apuda:

  • en 0, la kurvo decensas, do la derivajo y es neganta (ol valoras -1)
  • en 1, la kurvo decensas sempre, ma la inklineso es li plu mikra (-0,5).
  • en 2, la kurvo es perfekta horizontalo, do la derivajo es nula (0).
  • en 3, la kurvo acensas, do la derivajo es li pozitiva (0,5).

Formala defino[redaktar | redaktar fonto]

Sive reala funciono kun reala valori.

On apelas procento di augmento di en la quanto :

Kad havas limito kande tendencas vers 0, on dicas ke es derivadeblo en , e sua derivajo es egala ala limito di ta procento ce di augmento. On notas lore :

Funciono per qua la derivajo existas en punto es dicinta derivadeblo en ta punto.

Tangente2.gif

Ta kalculo di limito rivenas grafike a riserchar la tangento ala kurvo en ta punto.

Tale, la derivajo di funciono en punto, se ol existas, es egala ala inklineso di la tangento a grafo di la funciono en ta punto.

La derivajo povas anke esar definita sur da funcioni altra ke reala a reala valori.

Per exemplo, reala funciono kun valori en , es derivadeblo en se e sole se omna sua koordinati es derivadeblo en  ; e sua derivajo es la funciono do la koordinati es la derivadi di koordinati di .

Funciono derivajo[redaktar | redaktar fonto]

La derivadala es ante locala nociono (derivadala en punto), ma se funciono es derivadeblo sur omna intervalo, on povas definar sua derivadala funciono sur l'intervalo en questiono. La derivadala funciono, notita (prononcée « f prime ») o , prenas en omni punto la valoro dil derivajo di en ta punto.

Funciono egala a sua derivajo es nomizita exponentala.

povas facile kalkular su de expresiono di en uzita mikra nombro di algebra normi deduktita dil defino donita ante. La normi pluse ordinare uzita es la segun :

Nomo Normi Kondicioni
Lineara Kelka sive la derivadeblo funcioni e e la reali a e b.
Potenco Kelka sive , e mem kelka sive se f es pozitiva
Produto Kelka sive la derivadeblo funcioni et
Quociento Kelka sive la derivadeblo funcioni e la derivadeblo funcioni ne nihila
Radiko Kelka sive la derivadeblo funcioni strikte pozitiva
kompozita Kelka sive la derivadeblo funcioni e

derivajo di ordinara funcioni[redaktar | redaktar fonto]

derivajo di funcioni potenco, log, exp[redaktar | redaktar fonto]

Funcioni Derivadi Kondicioni
derivadeblo

Derivadi des trigonometrika funcioni[redaktar | redaktar fonto]

  • Se alors

Demonstro :

  • Se alors

Demonstro :

  • Se alors

Demonstro :

  • Se alors

Demonstro :

  • Se alors

Demonstro :

  • Se lore


Derivadi dil inverso di trigonometrika funciono[redaktar | redaktar fonto]

  • Se , lore
  • Se , lore
  • Se , lore
  • Se , lore
  • Se , lore
  • Se , lore

derivajo di ordino n[redaktar | redaktar fonto]

On definas la derivajo di ordino per funciono foye derivadeblo per rekurenta :

es egale notita .

Formulo di Leibniz[redaktar | redaktar fonto]

Se esas de la funcioni foye derivadeblo, lore :

.

En partikulara per ,

.

Notez la notinda analogeso kun la formulo pri la binomio di Newton.

Notizo di Leibniz[redaktar | redaktar fonto]

Derivadi di procento di ligita varieso[redaktar | redaktar fonto]

La derivadi en fiziko, en kemio ed en geometrio[redaktar | redaktar fonto]

Analiso di funciono derivajo[redaktar | redaktar fonto]

Trovinta la valori di x ube derivajo valas 0 o ne existas, trovesas la krizala nombri dil funciono. La krizala nombro di f permisas trovar implicite sua maximi e sua minimi. A efektigar la testo dil prima derivajo, on konstruktas tabelo di varianto ; se la signalilo dil funciono derivajo pasas di plu a min ante krizala nombro, on havas maximo e se la signalilo dil funciono derivajo pasas di min a plu ante la krizala nombro, on havas minimo. Pluse, kande la signalilo dil prima derivajo es pozitiva, la funciono acensas ; se ol es negativa, ol decensas. On ne konkluzas nulo se a krizala punto la funciono ne chanjas lua signalilo. En derivadinta la prima derivajo, on havas la duesma derivajo. A efektigar la testo dil duesma derivajo, trovesas la krizala nombri dil prima derivajo per lokizar en mem tabelo ; kande on observas chanjeso di signalilo dil duesma derivajo ante to krizala nombro o nombri, on dicas ke on havas un (o di) punto di inflexo. La punto di inflexo markizas chanjeso dil konkaveso dil funciono derivajo. Pozitiva signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la alta e negativa signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la basa.

Konocita la chanjesi di konkaveso e la extremi dil funcion, do on povas trovar skiso di grafiko.

derivajo ed optimiseso[redaktar | redaktar fonto]

Metodo por maxim bone uzar rendimento per helpo di diferenciala kalkulo:


1ma - Matematikeso

a) Defini e desegno : on definas la ne-konocata varianti ed on reprezentas li sur skemo.

b) Skribas la objektala funciono a du varianti e precizigar se on riserchas maximo o minimo en la donita situo.

c) trovar la relato inter la du varianti.

d) Skribas la objektala funciono a un varianto e precizigar la domeno dil funciono.

2ma - Analiso.

a) Derivadar la funciono per obtenar la prima derivajo.

b) trovar la krizala nombri dil funciono, ube la prima derivajo valas zero o ne existas en la intervali di domeno.

c) Efektigar la testo dil prima derivajo o la testo dil duesma derivajo per determinar la maximo o la minimo dil situo.

3ma - On formulas la respondo di konciza fasono per raporto a la questiono.

Derivadi ed asimptoti[redaktar | redaktar fonto]

Tanta foye kam on determinas la asimpoti dil funciono, on povas notar li en la tabelo di varieso per trasar adequate la skiso dil grafiko.

Derivadi di exponentala e logaritma funcioni[redaktar | redaktar fonto]

Videz anke[redaktar | redaktar fonto]