Exponentala

De Wikipedio
Irez ad: pilotado, serchez

L' exponentala funciono es la un di funcioni la plu importanta en matematiko.

L'exponentala funciono es preske plata (klimanta lente) per negativa x's, e klimanta rapide per pozitiva x's.

Simpla aceso[redaktar | edit source]

Kad a es reala nombro e n es integro, lore l'« exponentala de n en bazo a » es egala a « a potenco n » sive :

expa(n) = a × a × ... × a (n foyo)

On povas extensar ta funciono a ne-intera nombri. On demonstras lore ke la exponentali es la reciproka funcioni di logaritmi loga, e di altra parto ke la trigonometrika funcioni povas expresar su di simpla manero kon di exponentali.

Ta funcioni derivas su e integras su di tre simpla manero, e eventas en multa solvi di altre equacioni. Existas bazo e tala ke ex es la reciproka funcion di naturala logaritmo ln.

Defini e proprieti[redaktar | edit source]

On notas l'exponentala funciono \exp\, o ankore x\mapsto e^x (ube e es la naturala bazo di logaritmi) e ta funciono povas esar definata da multa equivalanta fasoni, la un esanta kom la sumo de serio e l'altra kom limito :

\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}
\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n

Hike n! es la faktorialo di n e x riprizentas irge reala nombro o komplexa nombro.

En omna vectorala normala kompleta spaco, la precedenta serio es normale konverganto, e on povas do definar l'exponentalo di kelka elemento di algebro di Banach o ankore di kelka elemento di corpo di p-adiala nombri.

Reala exponentala funciono[redaktar | edit source]

Kad x es realo, lore exp(x) es strikta positiva realo.

Di altra parto la functiono exp di \mathbb R en \mathbb R_+^* es klimata e kontinua strikte di plu \lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0 e \lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty, do admisas reciproka funciono, ke es la funciono naturala logaritmo ln, ke es definita sur \mathbb R_+^*.

L'exponentala funciono es derivaga e havas per derivita exp, do es nelimite derivaga. Di plu exp es konvexa.