Momento

En mekaniko, momento esas adapto di nociono di maso e di forco per la partikulara kazo di rotaciono.

En efekto, dum rotaciono, omna punto di solido trasas propra trajekto, et nome subitas propra acelero (inverse proporcionala pri quadrato di trajektoro-rayono). Quande on studias omna punto separe e ke on integras mekaniko-legi sur total l’objekto, ol aparas grandesi dependinta di rotaciono-axo, nomita inerteso-momento, forco-momento e cinetika momento. L’utileso di ta grandesi permesas di simplifar la kalkuli.

Momento di forco (forco-paro)

Pozas ni unesme en la kazo di movo en la plano.

La momento di forco ${\vec {F}}$${\vec {F}}$ exercar su a punto A per raporto a pivoto P, ke on nomas anke forco-paro, es la algebra numbro $M_{{\vec {F}}/P}$$M_{{\vec {F}}/P}$ do l’absoluta numbro valoras

$|M_{{\vec {F}}/P}|=||{\vec {F}}||\cdot d$$|M_{{\vec {F}}/P}|=||{\vec {F}}||\cdot d$

ube d es la disto di pivoto a la rekto portas la vektoro forco ; la momento es pozitivo se la forco tendencas a krear rotaciono en pozitiva senco (inversa senco segun-horloje).

La longeso d esas nomita lever-brakio.

Se la forco es perpendicula di levero, lore d es simple la disto PA inter la pivoto e l’apliko-punto. Se ne, ol facas prolongar la rekto pasinta per l’apliko-punto e portinta la vektoro, d es lore la disto di pivoto a sua ortogonala projekto sur ta rekto. Di generala maniero, on povas skribar

$M_{{\vec {F}}/P}=PA\cdot ||{\vec {F}}||\cdot \sin \alpha$$M_{{\vec {F}}/P}=PA\cdot ||{\vec {F}}||\cdot \sin \alpha$

ube a es l'angulo $({\widehat {{\overrightarrow {PA}},{\vec {F}}}})$$({\widehat {{\overrightarrow {PA}},{\vec {F}}}})$.

Pluse momento di forco per raporto a pivoto es granda, pluse ta forco havos tendenco ad igar la levero en rotaciono.
On ritrovas du intuitiva nocioni :

• pluse lever-brakio es longa, pluse ol es facila per levetar objekto
• ol es plu facila facar esforco perpendikulara ad levero.

On remarkas ke :

• forco aplikas su a pivoto havas nula momento
• forco en lever-axo havas nula momento

pro ke ya du kazi, d es nula.

En spaco, on konsideras la rotaciono dil objekto per raporto ad axo.

On povas definar la vektor-momento di la forco per raporto a l’axo D per

${\vec {M}}_{{\vec {F}}/\Delta }={\overrightarrow {PA}}\wedge {\vec {F}}$${\vec {M}}_{{\vec {F}}/\Delta }={\overrightarrow {PA}}\wedge {\vec {F}}$

ta vektoro es normala a plano en qua desvolvesas la rotaciono ke povas provokar la forco, e sua senco donas la senco di rotaciono (la rotaciono es pozitiva en la plano orientita per ${\vec {M}}_{{\vec {F}}/\Delta }$${\vec {M}}_{{\vec {F}}/\Delta }$).

Videz la matematika utensilo vektoriala produkto.

Inerteso-momento

Konsiderus objekto kompozita di multi punti solidara i di maso m_i. Ta objekto turnas cirkum axo D, e la disto di i a D es r_i. On definas lore l’inerteso-momento M_i/D per raporto ad axo D per  :

$M_{i/\Delta }=\sum _{i}r_{i}^{2}\cdot m_{i}$$M_{i/\Delta }=\sum _{i}r_{i}^{2}\cdot m_{i}$

Se la solido es kontinua solido, on povas definar en omna punto x di solido volumina maso r, l’inerteso-momento valas lore

$M_{i/\Delta }=\int d(x,\Delta )^{2}\cdot \rho dV$$M_{i/\Delta }=\int d(x,\Delta )^{2}\cdot \rho dV$

ube

• d(x,D) es la disto inter la punto x ed axo D e
• dV es mikra volumo cirkum di x

ke on povas anke skribar sube vektoriala forma :

$M_{i/\Delta }=\int \left({\vec {\Delta }}\wedge {\vec {OM}}\right)^{2}\cdot \rho dV$$M_{i/\Delta }=\int \left({\vec {\Delta }}\wedge {\vec {OM}}\right)^{2}\cdot \rho dV$

ube

• O es punto sur l'axo D
• ${\vec {\Delta }}$${\vec {\Delta }}$ es vektoro unajo dil axo D

Huygens-teorio

Konsiderus l’axo D pasinta per la gravito-centro dil objekto e axo D' paralela a D e distanta per ta lasta di disto d. Huygens havas pruvita relaciono tre praktiko per kalkular l’inerteso-momento M_i/D' kande on konocas l’inerteso-momento M_i/D :

$M_{i/\Delta '}=M_{i/\Delta }+m\cdot d^{2}$$M_{i/\Delta '}=M_{i/\Delta }+m\cdot d^{2}$

Tale l’inerteso-momento M_i/D' deduktas su di M_i/D simple en ad-juntinta la produkto dil maso m di korpo per la disto d inter l’axi D' et D da quadrato.

Ne-mediata konsequo di teorio es ke la minimala inerteso-momento es obtenita per l’axi pasita per la baricentro.

Cinetika momento

Se maso-particulo m trasas cerklo di rayono r ye rapideso di konstanta normo v, lore sua cinetika momento Lvalas :

L = r · m · v.

En la generala kazo, se ${\vec {r}}$${\vec {r}}$ es la vektoro normala al axo di rotaciono e bindita ta axo a materiala punto, e se ${\vec {p}}$${\vec {p}}$ es la movo-quanteso (o impulso) di materiala punto, lore

${\vec {L}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}$${\vec {L}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}$

Videz la detaloza articulo angulala momento.

Utileso di momenti

En dinamikala mekaniko, on povas montrar ke la momento di forci es la derivado di cinematika momento per raporto pri tempo :

${\vec {M}}_{F/\Delta }={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}$${\vec {M}}_{F/\Delta }={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}$

To es egala di fondamentala principo di la dinamikala (duesma Newton-lego en rotaciono.

On povas anke montrar ke se ${\vec {\omega }}$${\vec {\omega }}$ es la vektoro le vecteur angulala rapideso, ta es la vektoro

• colineala ad axo di rotaciono D,
• do la normo es la angulala rapideso
• e orientita per ke la pozitiva orienteso di normala plano korespondas a senco di rotaciono), lore

${\vec {L}}=M_{i/\Delta }\cdot {\vec {\omega }}$${\vec {L}}=M_{i/\Delta }\cdot {\vec {\omega }}$

Videz anke

• Nemova mekaniko