Quadratala equaciono

Grafiko di quadratala funciono:
y = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)

La x-koordinati dil punti ube la grafiko tra-iras la x-axis, x = -1 e x = 2, es la radiki di quadratala equaciono: x² - x - 2 = 0.

En matematiko, quadratala equaciono es polinomiala equaciono di duesma grado. Generala formo es

$ax^2+bx+c=0\mbox{ ube }a\ne 0.$

La leteri a, b e c es nominita koenficienti: a es la koenficiento di x², b es la koenficiento di x, e c es la konstanta koenficiento, anke nominita la libera termo.

Quadratala equaciono kun reala o komplexa koenficienti havas du komplexa radiko (i.e., solvi per x kande y=0) kustumala indikita kom $x_1$ e $x_2$, quankam la du radiki povas esar egala. Ta radiki povas esar kalkulita uzinta quadratala formulo.

Plu alta grado equacioni povas esar quadratala en formo, kom :

$2x^6+3x^3+5=0$.

Notez ke la plu alta exponento es duopla la exponent-valoro di mezo termo. Ta equaciono povas esar solvita direkte o kun simpla substituco, uzinta la metodi ke es disponebla per quadratala, kom faktoreso, quadratala formulo, o kompleta quadrato.

Quadratala formulo

Quadratala formulo explicite donas la solvi di quadratala equaciono segun la koenficienti a, b e c, qua ni tempe asumar esar reala nombro (ma videz infra per generale) kun a esinta ne-zero. Ta solvi es anke nominita radiko di equaciono. La formulo lektas

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$

Alternanta formo kelka renkontrita es donita da

$x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}.$

Exemplo

Prenas per examplo $8x^2 + 10x - 33 = 0$. En ta exemplo, 8 es la koenficiento di x2, 10 es la koenficiento di x, e -33 es la libera termo, tale $a=8$, $b=10$ e $c=-33$. Per solva per radiko di equaciono, ni kalkulas $x_{1,2}=\frac{-(10) \pm \sqrt {(10)^2-4(8)(-33)\ }}{2(8)}$ To donas la solvi $x_1=3/2$ e $x_2=-11/4$.

La termo b² − 4ac es nominita diskriminanto di la quadratala equaciono, per ke inter tri qualiteso altra kazi:

• se la diskriminanto es zero lore to es itera solvo x, e ta solvo es reala. Geometrala, to signifikas ke la parabolo trasita da quadratala equaciono tushas x-axo en solo punto.
• se la diskriminanto es pozitiva, lore to es du diferanta solvi x, amba reala. Geometrala, to signifikas ke la parabolo trasita da quadratala equaciono tushas x-axo en du punti. Plu, se la diskriminanto es perfekta quadrato, la radiki es racionala nombri -- en altra kazi to povas esar quadratala neracionala.
• se la diskriminanto es negativa, lore to es du diferanta solvi x, amba komplexa nombri. La du solvi es komplexa konjugi di uno altro. En ta kazo, la parabola ne intersektas x-axo.