Quadratala equaciono

De Wikipedio
Irez ad: pilotado, serchez
Grafiko di quadratala funciono:
y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

La x-koordinati dil punti ube la grafiko tra-iras la x-axis, x = -1 e x = 2, es la radiki di quadratala equaciono: x2 - x - 2 = 0.

En matematiko, quadratala equaciono es polinomiala equaciono di duesma grado. Generala formo es

ax^2+bx+c=0\mbox{ ube }a\ne 0.

La leteri a, b e c es nominita koenficienti: a es la koenficiento di x2, b es la koenficiento di x, e c es la konstanta koenficiento, anke nominita la libera termo.

Quadratala equaciono kun reala o komplexa koenficienti havas du komplexa radiko (i.e., solvi per x kande y=0) kustumala indikita kom x_1 e x_2, quankam la du radiki povas esar egala. Ta radiki povas esar kalkulita uzinta quadratala formulo.

Plu alta grado equacioni povas esar quadratala en formo, kom :

2x^6+3x^3+5=0.

Notez ke la plu alta exponento es duopla la exponent-valoro di mezo termo. Ta equaciono povas esar solvita direkte o kun simpla substituco, uzinta la metodi ke es disponebla per quadratala, kom faktoreso, quadratala formulo, o kompleta quadrato.

Quadratala formulo[redaktar | edit source]

Quadratala formulo explicite donas la solvi di quadratala equaciono segun la koenficienti a, b e c, qua ni tempe asumar esar reala nombro (ma videz infra per generale) kun a esinta ne-zero. Ta solvi es anke nominita radiko di equaciono. La formulo lektas


x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

Alternanta formo kelka renkontrita es donita da


x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}.
Exemplo
Prenas per examplo 8x^2 + 10x - 33 = 0. En ta exemplo, 8 es la koenficiento di x2, 10 es la koenficiento di x, e -33 es la libera termo, tale a=8, b=10 e c=-33. Per solva per radiko di equaciono, ni kalkulas x_{1,2}=\frac{-(10) \pm \sqrt {(10)^2-4(8)(-33)\  }}{2(8)}

To donas la solvi x_1=3/2 e x_2=-11/4.

La termo b2 − 4ac es nominita diskriminanto di la quadratala equaciono, per ke inter tri qualiteso altra kazi:

  • se la diskriminanto es zero lore to es itera solvo x, e ta solvo es reala. Geometrala, to signifikas ke la parabolo trasita da quadratala equaciono tushas x-axo en solo punto.
  • se la diskriminanto es pozitiva, lore to es du diferanta solvi x, amba reala. Geometrala, to signifikas ke la parabolo trasita da quadratala equaciono tushas x-axo en du punti. Plu, se la diskriminanto es perfekta quadrato, la radiki es racionala nombri -- en altra kazi to povas esar quadratala neracionala.
  • se la diskriminanto es negativa, lore to es du diferanta solvi x, amba komplexa nombri. La du solvi es komplexa konjugi di uno altro. En ta kazo, la parabola ne intersektas x-axo.