Euklidana spaco

De Wikipedio
Irez ad: pilotado, serchez

Euklidana spaco esas definita kom vektoriala spaco od afina normita di fina dimensiono e do la normo esas heritita di skalara produto. On havas kustumo (historie) di pensar la spaco ube ni vivas, ni fizika spaco, kom euklidana spaco di dimensiono 3.

Remarko sur la historio di koncepto[redaktar | edit source]

La nuna defino esas plus generala ed ol sub-strekizas la similesi inter l’euklidana spaci di diferenta dimensioni 1, la rekti, 2, la plani od infinita spaci en du perpendikla direkti, 3, infinita spaci en tri direkti reciproke perpendikla, 4, infinita spaci en quar perpendikla direkti, e, tale konseque.

La spaci di supera od egala dimensiono quarope esas poka dificila konceptenda ma ol povas esar tre bona konocita. En principo nulo impedas dil konocar anke bona ke la spaci plu ordinara, ecepte on ne povas donar completa vizuala reprezento. On povas kande mem donar partiala reprezenti. Di mem fasono ke la lonchi di sociso (tri dimensiona volumo) esas ideale (se ol esis infinite dina) di figuri a du dimensioni, la lonchi di spaco di dimensiono n es spaci di dimensioni n-1.

Euklidana spaco e tempo-spaco[redaktar | edit source]

Oportas atencar a ne konfondar euklidana spaco di dimensiono 4 kun la tempo-spaco, qua esas di dimensiono 4 per la ordinara teori, ma qua ne esas euklidana. La “disto-quadrato” tempala-spaco (x2 + y2 + z2 - t2) ne esas sempre pozitiva e do ne esas definita per skalara produkto.

Per la specala teorio di relativeso, la spaco esas euklidana spaco di dimensiono 3. To volas dicar ke se on prenas instantala loncho di tempala-spaco (l’ensemblo di tota la punti tempala-spaco, o eventi, simultana relatante a refero), on obtenas euklidana spaco di dimensiono 3. La skalara produkto povas ye esar definita de l’ensemblo di posibla pozicioni di rigida corpi en provizinta la refero di ortonoma repero. Videz Einstein, la relativeso, sube.

L’euklidana ad-iro di la spaco-cienco[redaktar | edit source]

Euklid havas asemblita en fondanto libro (La Elementi) tota la geometria konoci di sua epoko sube la forma di axiomatika teorio. Tota la veri esas od teori, od propozicioni, od axiomi, ke Euklid asemblas en defini, postulati, e komuna nocioni. La klasica fasono di konceptar la rispektiva roli di axiomi, di teori e di defini (Pascal, la geometrio-spirito et l’arto di persuadar) ne esis ta di Euklid. La laboro di Euklid enskribas en polemikala kontexto. La defini esas destinita a fixar la senco di fondamentala nocioni. La komuna nocioni esas di veri poka o ne diskutabla. En revancho la kin postulati havas plu la karaktero di postuli ke on povas o ne aceptar. La tri primi fixas di yuri di konstrukto di figuri kun di rekti e di cerkli. La quaresma (toto la rekta anguli esas egala) impozas uniformito a la spacostrukturo. La kinesma esas multa min evidenta ke la precedenti ma ol es nekareebla per la pruvi di preske tota la teori (ecepte la primi).

Segun la kriterii di moderna axiomala, l'elementi ne esas komplete kontentiginta. Certa axiomi esas ulatempe uzita. Altri esas uzita sen havar mentionita su kom tela ante, o sen esar enuncita. La pruvi ne esas sempre kompleta. Ol facas ofte voko a di geometriala konstrukti. La questiono di normi di dedukto ne es pozita.

L'euklidana axiomala metodo havis developita en multa tempi.

  • la polemika karactero di iniciala laboro havas rapideso desaparita. La prestijo di Euklid havis tela ke sua axiomi, kelka-foye kontestabla, havis konsiderita kom prima veri. Sole la kinesma postulato ecitis di objecioni et certi havas per to esperita pruvar li de altra axiomi. On savas de-pos la developo di ne-euklidana geometrii ke tela pruva ne povas existar.
  • L’axiomi esinta konsiderita kom di evidenta veri, la geometrio-spirito havis definita per Pascal kom la kapableso a expozar tota la konoci, sive kom di axomi, o prima veri, sive kom di teorio pruvita de axiomi. L’axiomi es konsiderita kom ne-pruvebla e sua vera es supozita konocita di omni rationala esto. Per analogeso, certa fondamentala nocioni (punto, rekto, plano, ...) esis konsiderata kom di prima nocioni, ne-definisabla, do la significo esis suposita konocita di omni rationala esto.
  • la formala ne-suficanta dil expozo di Euklid havis progresive kompleta, nome per Pasch et Hilbert. Il-ca havas donita, kum La fundamenti dil geometrio, completa,rigorezo et tamen axiomala expozo sempre fidela al spirito di iniciala laboro.
  • La moderna algebro havas kompletita l’unificala programo, entamita per Euklid e sua pre-iranti, persequas per Descartes, inter la geometriala metodi e la algebrala metodi (la kalkulo kum di nombri e plu generale la kalkuli kun equacioni). La sequo di ta artiklo es konsecrita a ta unajo, et a sua fizika senco.

L'algebrala metodi en geometrio[redaktar | edit source]

Descartes havas uzita e developita la algebrala metodi di sua epoquo e il havas montrita klare li konveno per truvar di solvi a geometriala problemi. Per exemplo, quadrato centra sur l’origino e di radio R es l’ensemblo di tota punti di plano do la koordinati (x, y) satisfacas a l’equaciono x2 + y2 = R2 .

On povas uzar ta carteziana metodo per fondar la geometrio sur la reala nombri-teorio. To rijuntas la principo di Pitagoro, tota es nombro, ma en spirito poko diferente di to di pitagorero, per qua la nombri esis sempre racionala, a du-opla senco, matematika - quociento di du integra nombri - e filozofica - to qua povas esar konocita di racionala fasono.

On departas di la defino di korpo \mathbb R di reala nombri. Se on definas la punti par di duo (x,y) di nombri, la rekti per l’ensembli di punti qua es solvi di equaciono ax + by + c = 0, kun (a,b) ≠ (0,0), la konguo di figuri per l’existo di izometrio, o transformo qua konservas la disti, e la disto inter du punti per la normo di vektoro qua bindas l’un a l’altra, lore tota la axiomi di la euklidana geometrio donita per Hilbert es vera. On dicas ke on havas definita modelo di ta axiomi.

Inverse, on povas partar di geometriala axiomi, definar la korpo di reala nombri e la spaci \mathbb R ^2 e \mathbb R ^3 provizita di sua verktora strukturo e di sua euklidana normo.

L’euklidana ed algebrala acesi es do equivalante, ma l’algebrala metodo, quankam kelka-foye min intuitiva, es di fore la plu povo. L’algebrala axiomi es ofte formale plu simple e plu komode generala ke la geometriala axiomi/

La pozicioni di rigida korpi[redaktar | edit source]

La studio di pozicioni di rigida korpi es triesma fasono, formele equivalanto a pre-iranti, d’abordar la principi dil euklidana geometrio. Ol permezas di bindar direkte di geometriala principi a di fizika principi (relatanta a di observi). Ol povas esar generalita a la geometrio di tempo-spaco, per ke ol sufizas di remplasar la nociono di rigida korpo per to di rigida automato, o horlojo. Ol lumas la ligilo inter l’algebrala metodi e la geometriala konstrukti.

Egaleso di figuri e rigideso di korpi[redaktar | edit source]

Un di fondamentala nocioni di la Euklid-teorio es to d’egaleso, o konguo inter figuri. Du figuri, per exemplo du trianguli, es egala, se ol povas reprezentar du diferenta pozicioni di mem rigida korpo. Per komprenar la fizika senco di egaleso di longui, ol ne es do necesa di en-duktar la nombri. Se per exemplo on volas mezurar la larjeso di fenestro per komprar kurteno, ol sufizas di prenar kordeto e li facar marko. On povas uzar la kordeto per selektar la bona larjeso di kurteno sen havar bezona di konocar sua nombro di centimetri. Di generala fasono, per konocar se du disti AB e CD es egale, on povas reperar du punti E e F sur rigida linealo o tensita kordeto. To konduktas a problemo di cirkulata :

A geometriala senco, linealo esas rigida kande la disti inter sua punti ne varias. Ma quale savar ke ta disti ne varias, ke restas sempre egala a ol-mem?

Per savar ke du disti es egala, on uzas di rigida korpo. Ma per savar ke korpo es rigida ol facas savar ke sua disti restas egala. Yen qua resemblas vicioza cerklo.

La mezuro di longeso furnisas di koheranta rezulti quande la regulo di transitala es respektita : se la mezuri establisas ke AB e CD havas la mem longeso, e ke CD e EF havas anke la mem longeso, lore ol devas establisar ke AB e EF havas la mem longeso. Imaginez ke inter tota la korpi supozita rigida, la un dilatas su, altri kontraktesas, e omnu segun sua propra ritmo. Lore la mezuri di longeso ne esos plu posibla, ol furnisus di ne-konsequanta rezulti. Ta hipotezo ne es pure imaginala : la reala solidi ne es rigida a geometriala senco. Sua dimensi varias kun la tempero. Per obtenar di koheranta mezuri, facas experimentar en la mezo di uniforma tempero o kun di poka sensibla materii a tempero-varii.

Imaginez nun ke tota korpi supozita rigida sive en vera en movo di perpetua expanso, tota a mem ritmo. La mezuro di longeso esus sempre posibla, ol furniras di koheranta rezulti e ol konduktus a supozar ke disto sur korpo restas sempre egala a ol-mem lore ke ol ne cesar di plu-grand-igar. To montras ke on ne povas savar en absoluta senco se disto restas sempre egala a ol-mem. La geometriala veri es fundita experiencale sur di mezuri qua establizas di relacioni inter la korpi. Ta es la koheranta inter tota la mezuri qua montras la vera di equacioni ke on establisas.

Tota ta diskuso sur l’égala di longesi povus esar konduktar sur l’egala di duresi, di masi, di temperi e di irga fizika grandeso. La vera di teori repozas sur la koheranta di mezuri.

La fondamentala rolo di studio di translacioni[redaktar | edit source]

La geometriala studio di figuro povas esar tre complikita quik de ol havas multa parti. Ol facas studiar tota la relativa pozicioni. Ma on disposas d’utensili di granda povo per ke ol es tre generala, per ke ol permizas di studiar en sola foyo total la pozicioni di omna korpi. Per to on studias l’ensemblo di total la posibla diplasi di korpi.

Diplaso es definita per duo di pozicioni di mem korpo, l’un initiala, l’altra finala. Unesma-vide on ne vidas la ganajo en generala per ke la diverso di diplasi es ankore plu granda ke la diverso di korpi. Ma on povas enduktar abstraktata e generala nociono per qua du korpi povas efektigar la mem diplaso mem se pluse ol es tre diferanta.

Kande di objekti es fixita sur tablo ke on diplasas, ol efektigas tota en senco la mem diplaso. Per defino du korpi efektigas la mem diplaso kande ol existas triesma korpo, tablo, suporto, sur qua ol puvus esar omna la du fixita lore di pasajo del iniciala ala finala poziciono. Ol sufizas do di studiar l’ensemblo di tota la diplasi di suporto per en deduktar la diplasi di tota la korpi. Konocinta tota ta posibla diplasi, on en deduktas tota la posibla pozicioni, pro ke tota la pozicioni povas esar obtenita per diplaso de irga iniciala poziciono.

Per la geometrio di rigida korpi, ol es sole du tipi di fondamentala diplasi, la translacioni e la rotacioni. La geometrio di rigida korpi es do esenca la studio di translacioni e la rotacioni. La translacioni funcionas partikulare fundamentala per ke bindas di fasono tre determina tota la punti di la spaco : esinta donita du punti ol existas sempre un e un sola translaciono qua diplasas l’un sur l’altro. L’ensemblo di translacioni revelas do partikulare bona la strukturo dil spaco, to es la relacioni inter sua punti.

La translacioni es di diplasi en rekta lineo, sen turnar sur sama. La rotacioni konsistas a turnar cirkum di fixa punto. La fundamentala proprajo di rotacioni es do simple : existas fixa punto. Punto di suporto gardas la mem poziciono dum diplaso. La disto inter sua iniciala e finala poziciono es egala zero-ope.

La fondamentala proprajo di translacioni esas poka plu komplika : tota li punta di suporto efektigas la mem trajekto. La disti inter la iniciala e finala poziciono di tota punti di suporto esas omni egala.

Ke esas rekta lineon ?[redaktar | edit source]

Kad on definas la translacioni de sua fondamentala proprajo lore on povas definar la nociono di rekta lineo de to di translaciono. Rekto es ensemblo di punti ke es tota obtenita de sole inter su e kompleta ensemblo di paralela translacioni. Intuicive on trasar rekta lineo kande on voyas sen ul-tempe chanjar di direkto. La nociono di paralelismo o egaleso di direcioni di du translacioni es poka delikata a definar. Ol facas d’abordo en-duktar la nociono di komposo di diplasi. De du diplasi d e e on povas definar triesma f qua es la produkto du-ope.

On dicas anke ke f es obtenita per compozo di d e e. F konsistas a efektigar d’abord la diplaso d pose la diplaso e. f es egala a d sequita di e. Sive x iniciala poziciono di punto di suporto.

On notas d(x) sua finala poziciono pos la diplaso d. Se on efektigas seque e, sua nova finala poziciono es e(d(x)), on havas do f(x)=e(d(x)). On havas adoptita kurioza notizo a prima abordo: d sequita di e skribas su e°d , per ke f(x)=(e°d)(x)=e(d(x)) .

La diplasi es funcioni. La kompozo di diplasi es partikulara kazo di la kompozo di funcioni.

De sola diplaso d, on povas en definar di multa altri : d°d, d°d°d, d°d°d°d, e tale konseque. Ol iras tota en la mem direkto. Ol es omni paralela. On povas anke truvar di mikra diplasi, p per exemplo, tale ke d=p°p°p°p°p°p°p. P es la rezulto di la divido di d en sep egala parti. p havas bona certa la mem direkto ke d. La defino di la generala nociono di equaleso di directi pozas tamen teknika desfacileso pro di ne-racionala numbri.

La neracionala numbri[redaktar | edit source]

A prima abordo on povus kredar ke la divido di lineo en egala parti e la posibleso di pozar di linei la altri al extremajo di altri suficas per definar tota la disti. En iterinta multa numbri di foye mem disto, on povas irar anke fore ke on volas. To es la Archimedo-principo. En divideso lineo en egala parti, on povas havar di parti anke mikra ke on volas. On povas do facar mezuri kun tota la dezira precizeso.

On savas tamen ke esas ne-kun-mezurebla disti. La diagonala di quadrato per exemplo es ne-kun-mezurebla kun sua latero. On povas dividar la latero en egala parti tale mikra ke on volas e rikunpozar la parti di omni la posibla fasoni, on obtenos ul-tempe longeso exacte egala a la diagonala di quadrato. La demonstro di ta teorio ne esas tre desfacila. On atribuas generale a pitagorero. On rakontas ke to qua havas truvita ta demonstro esis jetita per sua kamaradi di alto en klifo per ke to semblis irar kontre la docajo di docantaro Pitagoro.

Kande numbri mezuras ne-kun-mezurebla disto kun unajo di longeso, on dicas ke ol es ne-racionala, ne per ke Pitagoro es prenita kom exemplo di racionala, ma per ke la divido en egala parti e l’asemblo es exempleso dil agiveso dil raciono.

La decimala numbri ne es ne-racionala per ke ol havas finita numbri di cifri pos la komo. La ne-racionala numbri havas sempre ne-finita numbri di cifri pos la komo. Certa racionala numbri anke, tri.ima per exemplo : 1/3=0,3333333333333....Ma la ne-racionala numbri havas ta remarkabla propreso ke la sequo di cifri facas sempre spaco per novuro. Se infinita sequo di decimala es obtenita per la iterala da mem sequo di cifri, ta es ke la numbri es racionala.

Kande translaciono povas esar obtenita de altro per divido en equala parti e komposo di parti, ol es kun-mezurebla. Per prenar en konto la paralela e ne-kun-mezurebla translacioni on povas pazar per la nociono di konvergo di sequo. Du translacioni es paralela o havas la mem direkto kande ol existas sequo di translacioni omni kun-mezurebla kun l’un e qua konvergas vers l’altro, to es ke ol aprochas su ne-finita.

Ensemblo di paralela translacioni es komplete se ol kontenas tota la translacioni qua havas la mem directo. To finas la defino di la nociono di rekta lineo en l’internajo di teorio di pozicioni di rigida korpi.

L’euklidana plani e spaco a tri dimensioni[redaktar | edit source]

Plano es ensemblo di punti qua es omni obtenita de punti di rekto et completa ensemblo di paralela translacioni inter ol ma no paralela a la iniciala rekto. On obtenas plano per diplasinta rekta lineo transverse sen sempre chanjar di direkto.

Plano povas do esar definita de punto e di du translacioni neparalela.

Translaciono es coplaneso kun du altri, o paralela a definita plano per la du altri, kande ol deplasas la punti di ta plano sen la ek facar, kom kande on facas glitar papero-folio sur altro.

Euklidana spaco a tri dimensi es ensemblo di punti qua es tota obtenita de punti di plano e kompleta ensemblo di paralela translacioni inter ol ma ne-paralela a iniciala plano.

La limiti di la experimentala vera di la euklidana geometrio[redaktar | edit source]

Ta es fakto di experimento ke nia spaco es euklidana a tri dimensioni, mine se on limitas su a observi a nia skalo, to di rigida korpi sur la tero. La fiziko di elementa partikuli di un parto, l’astrofiziko a granda skalo di altra parto ne povas kontentar sur la euklidana geometrio. Mem a nia skalo, la gravito, la fakto ke la korpi falas, es manifesto di karaktero ne-euklidana di spaco, ma ol agar su di geometrio di tempo-spaco (la teorio dicas di generala relativeso) e ol ne rimetas en questiono la loka valido a nia skalo di la euklidana geometrio. Dicas ke la spaco es euklidana a tri dimensi ne es metafizica vero sur la naturo di realo o di materio. La questioni sur la tre mikra o la tre granda konduktas a le rimetar en questiono kom irga hipoteso. Ke la spaco es euklidana volas sole dicar ke la teorio funcionas bona kande on aplicas li en bona kondicioni a solida korpi a nia skalo.

Kartesa koordinati e vektorala spaci[redaktar | edit source]

La translacioni es partikulare komoda per introduktar la kartesa metodo, per numerisar la geometrio. Per reperar su en spaco, ol suficas di donar su tri translacioni ne-coplananta. Per exemplo en urbo kun Manhattan, on povas adoptar la tri direkti west-esto, nord-sud e basa-alta. On povas atingar omni punti di spaco de solo per sequencio di tri trajeki segun ta tri direkti (en la du senci).

Kompleta ensemblo di paralela translacioni es vektorala spaco (reala) a un dimensiono. On povas definar dis vektoriala spaci a multi dimensi e la generala teorio di ta spaci es lineara algebro. L’ensemblo di translacioni en nia fizika spaco es di vektoriala spaci a un, du o tri dimensi provizita ke sive kompleta. En partikulare ol devas esar kloza per la kompozo, to es ke kontenas sempre u°t se ol kontenas la translacioni t ed u.

La translacioni et rotacioni sufizas per definar tota la diplasi di rigida korpi[redaktar | edit source]

Tota la pozicioni di rigida korpo povas esar atingita de irga iniciala pozicioni de translaciono e di rotaciono. La moderna aceso di la geometrio, per translacioni et rotacioni, permizas do di komprenar pos per ke Euklid havas podita developar teorio tale potenta kun di elementi anke redukta, la rekta linei e la cerkli.

La defino di skala produkto de pozicioni di rigida korpi[redaktar | edit source]

Ol sufizas di definar ortonorma referenco, to es origina punto e tri vektori - translacioni - reciproke perpendikula. Per definar la perpendikuleso di du rekti de l’egalo di longesi, on povas pazar per exemplo per la nociono di mediacanto. Rekto D esas mediacanto di segmento AB kande ol pazas per la mezo di segmento e ke PA=PB per altra punto P di D. Du rekti esas perpendikulara kande l’un es mediacanto di segmento kontenita en altro. Du vektori es perpendikulara kande ol esas la direcioni di du rekti perpendikulara.

Tam balde kam ortonoma referenco esas definita, la skala produkto di du vektori do la koordinati en to referenco es (v1, v2, v3) e (w1, w2, w3) es definita per :

v.w =def v1.w1 + v2.w2 + v3.w3

Di ta fasono omni l’algebra aximi di vektora euklidana spaci aquiras fizika senco relativa a pozicioni di rigida korpi.